Начинал карьеру в качестве вратаря, затем пробовал себя на позиции нападающего. Именно тогда Абазова заметили и пригласили в команду школы № 31 города Нальчика (тренер — Гия Георгиевич Лобжанидзе).

Весной 2010 года Руслан стал привлекаться к играм молодежного состава нальчикского «Спартака». 2 апреля, в матче со сверстниками из «Ростова» он дебютировал в составе молодёжной команды нальчан, выйдя на замену на последних минутах матча. Всего же провёл за клуб 42 матча в молодёжном первенстве страны, став вместе с командой обладателем малых золотых медалей в 2012 году.

7 августа попал в заявку на матч чемпионата страны с казанским «Рубином», но на поле так и не появился. Зимой 2012 года ездил на сбор в Турцию вместе с первой командой.

27 апреля 2012 года, в матче с «Крыльями Советов», состоялся дебют Руслана в Премьер-лиге. Игрок появился на поле в стартовом составе и провёл всю встречу «отметившись» жёлтой карточкой. Всего же принял участие в 4 матчах первенства.

По итогам сезона 2011-2012 г.г. «Спартак» занял предпоследнее место в турнирной таблице Премьер-Лиги и опустился в ФНЛ.

В течение следующих двух сезонов Руслан Абазов провел в борьбе за место в стартовом составе нальчан и в общей сложности сыграл в 36 матчах первенства ФНЛ, став бронзовым призёром сезона 2012/13 г.г. В этом сезоне, кстати, он играл в обороне «Спартака» в паре с другим новичком «Тюмени» Михаилом Багаевым.

В ноябре 2013 года участвовал в традиционном товарищеском матче сборная ФНЛ – Серия «Б» (Италия). Руслан вышел на замену во втором тайме, а выиграли тот матч итальянцы со счетом 1:0.

По окончанию сезона 2013/14 г.г. руководство "красно-белых" в связи с финансовыми трудностями объявило о снятии клуба с Первенства ФНЛ. Таким образом, большинство игроков стали искать другие варианты продолжения карьеры.

16 июня 2014 года Руслан подписал долгосрочный контракт с клубом российской премьер лиги «Ростов». Соглашение рассчитано на четыре года. В составе ростовчан Руслан дебютировал 26 июля 2014 года в игре за Суперкубок России. Абазов провёл на поле весь матч, а его команда уступила московским армейцам со счётом 1:3.

В первенстве страны вышел на поле в составе ростовчан в первых трех турах. В этих матчах «Ростов» набрал лишь одно очко, в том числе потерпев сокрушительное поражение от московского «Динамо» со счетом 3:7. В матче 3-го тура с московским «Локомотивом» Руслан стал виновником гола в дебюте встречи, проиграв единоборство Алану Касаеву, а когда, в середине первого тайма был пропущен второй мяч раздосадованный тренер ростовчан Миодраг Божович заменил защитника и больше он на поле не появлялся. Вскоре правда и самого Божовича заменили другим тренером.

14 февраля 2015 года Руслан Абазов до конца сезона перешёл на правах аренды в «Тюмень» и принял участие в четырех матчах Кубка ФНЛ, выиграв вместе с командой бронзовые медали.

КАРЬЕРА: