Воспитанник ДЮСШ № 5 города Кирова. Первым тренером был Юрий Вячеславович Ларьков. В 2002 году в возрасте 17 лет дебютировал за взрослую команду местного «Динамо», выйдя на замену в конце матча Первенства Второго дивизиона с «Энергией» из Чайковского. Сезон 2003 года провёл в ижевском «Динамо», после чего вернулся обратно в Киров.

Игра Багаева заинтересовала руководство «Москвы», выступавшей в Премьер-лиге, и в 2005 году он подписал контракт с этим клубом. В столице играл в основном за дублирующий состав, проведя за основной всего одну встречу. 11 августа 2005 года в ответном матче 1/16 финала Кубка России с махачкалинским «Динамо» на 87-й минуте заменил Максима Белецкого.

Перед началом сезона 2006 года подписал контракт с казанским «Рубином». Однако и в столице Татарстана Михаил играл только за дублирующий состав, отметившись всего одной игрой за первую команду. 22 июня 2007 года провёл полный матч 1/16 финала Кубка России с «Луховицами».

В августе 2007 года был отдан руководством «Рубина» в аренду в клуб первого дивизиона «СКА-Энергия» из Хабаровска, а уже в феврале 2008 переехал на Дальний Восток окончательно. Играл «универсала», выходя на поле то в позиции защитника, то в среднюю линию. Летом 2009 года из-за длительных задержек заработной платы покинул хабаровский клуб и 16 августа подписал контракт на полтора года с «Краснодаром».

За «горожан» Михаил сыграл в общей сложности 36 матчей в ФНЛ и забил 1 мяч. В сезоне 2010 года «Краснодар» занял пятое место в ФНЛ, но получил место в Премьер-Лиге вместо «развалившегося» «Сатурна». В клуб пришел новый тренер и Багаеву пришлось искать новую команду.

Впрочем долго эти поиски не длились. «Спартак-Нальчик» уже с 2009 года звал Михила в команду и в конце 2010 года он приехал на просмотр в Кабардино-Балкарию, а в начале 2011 года подписал с клубом контракт на два с половиной года. 12 марта 2011 года в матче первого тура с самарскими «Крыльями Советов» Михаил дебютировал в Премьер-лиге, отыграв весь матч целиком.
В общей сложности в течение сезона 2011/12 провел в составе «Спартак-Нальчик» 37 матчей в Премьер-Лиге, но по итогам сезона команда заняла 15 место и опустилась в ФНЛ.
В сезоне 2012/13 Михаил Багаев по прежнему являлся одним из основных защитников нальчикского «Спартака». Перед командой стояла задача возвращения в Премьер-Лигу, но в стыковых матчах «Крылья Советов» оказались сильней. По окончании сезона Багаев на правах свободного агента перешел в московское «Торпедо».

В сезоне 2013-14 Михаил являлся одним из ключевых игроков автозоводцев и во многом благодаря его надежной игре команде удалось выйти в Премьер-Лигу. Несмотря на то, что торпедовцы значительно укрепили состав для участия в элитном российском дивизионе Багаев попал в заявку «Торпедо», но место в основном составе потерял. В нынешнем сезоне Багаев принял участие лишь в шести матчах российской премьер-лиги, а в конце прошлого года был выставлен на трансфер и тренировался с дублирующим составом.

В феврале текущего года Михаил Багаев прибыл на просмотр в нашу команду для участия в Кубке ФНЛ. По итогам сборов защитник на правах аренды перешёл в «Тюмень».

Сегодня Михаил отмечает День Рождения! Ему исполнилось 30 лет. Футбольный клуб «Тюмень» поздравляет футболиста с праздником! Желаем успехов в новой команде, здоровья и семейного благополучия.