Уроженец Орла заключил свой первый профессиональный контракт с «Ростовом» в 16 лет, являясь воспитанником академии волгоградского «Ротора». Затем Ставпец перебрался в «Москву». В составе столичного коллектива Александр даже выходил на поле в предварительном раунде розыгрыша Кубка УЕФА.

После московского периода карьеры Ставпец непродолжительное время провёл в самарских «Крыльях Советов». После этого Александр перешёл в екатеринбургский «Урал», позже отметившись ярким периодом выступлений за «Ротор».

Вернувшись в стан уральцев, Ставпец не сыскал успехов в матчах регулярного чемпионата. Александр забивал исключительно в поединках Кубка России, контрольных матчах и встречах молодёжных составов. Но один мяч болельщики «Урала» точно запомнили навсегда. Именно Ставпец забил единственный и решающий выездной гол в ворота томской «Томи» в двухматчевой серии за право остаться в премьер-лиге в 2015 году!

В нынешнем сезоне Ставпец провёл на поле 87 минут в матче «Урала» против «Ростова» (1:1). После этого форвард получил травму.

Александр Ставпец стал четвёртым нападающим в составе ФК «Тюмень». Он составил компанию в заявке Данилу Карпову, Георгию Кучиеву и вернувшемуся в стан чёрно-белых Андреа Чуканову.